1. Nombres et Calculs (Fractions)
- Priorités : Parenthèses > Puissances > Multiplication/Division > Addition/Soustraction.
- Addition/Soustraction : Il faut le même dénominateur.
- Multiplication : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
- Division : Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
- Signes : Attention aux nombres négatifs (règle des signes).
QCM d'échauffement
1. Quel est le résultat de $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ ?
2. Calculer : $\frac{5}{3} \times \frac{-2}{7}$
Exercices d'entraînement (Type Ex 3 du sujet)
Exercice 1.1 : Priorités opératoires
Calculer A et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
$$ A = \frac{-5}{3} - \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} $$
Voir la correction détaillée
La multiplication est prioritaire.
1) Calcul du produit : $\frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
2) Soustraction : $A = \frac{-5}{3} - \frac{2}{3}$
3) $A = \frac{-7}{3}$
Exercice 1.2 : Division de fractions
Calculer B :
$$ B = \frac{\frac{2}{5} + 1}{\frac{7}{5}} $$
Voir la correction détaillée
On s'occupe d'abord du numérateur.
Numérateur : $\frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{7}{5}$
Donc $B = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{7}{5}}$
Un nombre divisé par lui-même vaut 1. Donc B = 1.
2. Géométrie Plane (Pythagore, Thalès, Triangles)
En géométrie, ne donnez jamais le résultat seul. Utilisez le modèle :
- On sait que : (Citer les données : triangles rectangles, points alignés, parallèles...)
- Or : (Citer le théorème : Pythagore, Thalès, angles alternes-internes...)
- Donc : (Le résultat ou la conclusion).
- Réciproque de Pythagore : Pour prouver qu'un triangle est rectangle. On calcule le carré du grand côté d'une part, la somme des carrés des deux autres d'autre part. Si égalité = Rectangle.
- Parallélisme : Si deux droites sont perpendiculaires à la même 3ème droite, alors elles sont parallèles entre elles[cite: 34].
- Triangles Semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles égaux deux à deux OU leurs côtés proportionnels[cite: 43, 48].
QCM Rapide
1. Dans un triangle ABC, si $AB^2 + AC^2 = BC^2$, alors...
2. Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont...
Exercices d'entraînement (Type Ex 2 du sujet)
Exercice 2.1 : Montrer qu'un triangle est rectangle
Soit un triangle MER tel que ME = 6 cm, ER = 8 cm et MR = 10 cm.
Le triangle MER est-il rectangle ? Rédigez correctement.
Voir la correction type Brevet
On sait que dans le triangle MER, le plus grand côté est [MR] (10 cm).
D'une part : $MR^2 = 10^2 = 100$
D'autre part : $ME^2 + ER^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
On constate que $MR^2 = ME^2 + ER^2$.
Or, d'après la réciproque du théorème de Pythagore,
Donc le triangle MER est rectangle en E.
Exercice 2.2 : Thalès et Triangles Semblables
Configuration papillon. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les points A, O, C sont alignés. Les points B, O, D sont alignés.
OA = 3 cm, OC = 6 cm, AB = 4 cm.
1. Les triangles OAB et OCD sont-ils semblables ?
2. Calculer CD.
Voir la correction
1. On sait que (AB) // (CD). Les angles alternes-internes $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OCD}$ sont égaux. Les angles opposés par le sommet en O sont égaux.
Or si deux triangles ont leurs angles égaux, ils sont semblables.
Donc OAB et OCD sont semblables.
2. Comme les triangles sont semblables, leurs côtés sont proportionnels (Théorème de Thalès).
Tableau de proportionnalité : $\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}$
$\frac{3}{6} = \frac{4}{CD}$
Produit en croix : $CD = \frac{6 \times 4}{3} = \frac{24}{3} = 8$ cm.
3. Géométrie dans l'Espace (Boules et Sphères)
- Volume Boule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$[cite: 103].
- Section : La section d'une sphère par un plan est un cercle[cite: 107].
- Triangle rectangle dans la sphère : Si on coupe une sphère, on forme souvent un triangle rectangle OHR (O centre sphère, H centre du cercle de section, R un point du cercle de section). On applique Pythagore : $OR^2 = OH^2 + HR^2$[cite: 114].
QCM Rapide
1. Le volume d'une boule de rayon 3 cm est :
2. On coupe une sphère de rayon 10cm à 6cm du centre. Le rayon de la section (r) vérifie :
4. Algèbre et Équations (Exercice 5)
- Calcul littéral : Remplacer $x$ par une valeur pour tester (Ex: pour $x=5$).
- Développement : $k(a+b) = ka + kb$. Attention au signe "-" devant une parenthèse qui change tous les signes à l'intérieur ! [cite: 160]
- Résoudre une équation : Mettre les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.
Ex: $12x + 18 = 18x + 6$
$\rightarrow 18 - 6 = 18x - 12x$
$\rightarrow 12 = 6x$ donc $x = 2$[cite: 164].
QCM Rapide
1. L'expression développée de $3(2x + 5)$ est :
2. La solution de l'équation $4x - 2 = x + 7$ est :
Exercice d'entraînement (Type Ex 5 du sujet)
Exercice 4.1 : Problème de périmètre
On a un carré de côté $2x+1$ et un triangle équilatéral de côté $3x-1$.
1. Exprimer le périmètre du carré P1 en fonction de x.
2. Exprimer le périmètre du triangle P2 en fonction de x.
3. Pour quelle valeur de x les périmètres sont-ils égaux ?
Voir la correction
1. Périmètre carré = $4 \times \text{côté} = 4(2x+1) = 8x + 4$.
2. Périmètre triangle = $3 \times \text{côté} = 3(3x-1) = 9x - 3$.
3. On cherche $x$ tel que $P1 = P2$ :
$$ 8x + 4 = 9x - 3 $$
On regroupe les $x$ à droite (pour garder positif) et les nombres à gauche :
$$ 4 + 3 = 9x - 8x $$
$$ 7 = x $$
Les périmètres sont égaux pour $x = 7$.